В трапеции $$ABCD$$ углы $$A$$ и $$B$$ прямые. Диагональ $$AC$$ — биссектриса угла $$A$$ и равна 6 см. Найдите площадь трапеции, если угол $$CDA$$ равен $$60°$$.

Разберем решение задачи поэтапно.

1. Так как $$AC$$ - биссектриса угла $$A$$, то $$\angle CAD = \angle BAC = 45°$$.

2. Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Сумма углов треугольника равна $$180°$$. Следовательно, $$\angle ACD = 180° - \angle CAD - \angle CDA = 180° - 45° - 60° = 75°$$.

3. Опустим высоту $$CH$$ на сторону $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$CDH$$ угол $$CDH = 60°$$, следовательно, $$\angle DCH = 30°$$. Тогда $$DH = \frac{1}{2}CD$$.

4. Рассмотрим треугольник $$ACH$$. В нем $$\angle CAH = 45°$$, следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник, и $$CH = AH$$.

5. Пусть $$BC = x$$. Тогда $$AD = AH + HD = CH + HD = BC + HD = x + HD$$.

6. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как угол $$BAC = 45°$$, то это равнобедренный прямоугольный треугольник, и $$AB = BC = x$$.

7. В прямоугольном треугольнике $$CDH$$:

$$\sin 60° = \frac{CH}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда $$CD = \frac{2CH}{\sqrt{3}} = \frac{2x}{\sqrt{3}}$$.

8. $$HD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$$.

9. $$AD = x + \frac{x}{\sqrt{3}}$$.

10. Площадь трапеции $$ABCD$$ равна:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{x + x + \frac{x}{\sqrt{3}}}{2} \cdot x = \frac{2x + \frac{x}{\sqrt{3}}}{2} \cdot x = x^2 + \frac{x^2}{2\sqrt{3}}$$

11. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$$

Так как $$AC = 6$$, то $$36 = 2x^2$$, следовательно, $$x^2 = 18$$, и $$x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$.

12. Площадь трапеции:

$$S = x^2 + \frac{x^2}{2\sqrt{3}} = 18 + \frac{18}{2\sqrt{3}} = 18 + \frac{9}{\sqrt{3}} = 18 + \frac{9\sqrt{3}}{3} = 18 + 3\sqrt{3}$$

Ответ: $$18 + 3\sqrt{3}$$ см$$^2$$