Контрольные задания > 6. В трапеции PQRS (QR|IPS) выполнено QR1RP, RP=33, PS=36, QT - высота треугольника PRQ, a tgzTQR=2. Найдите РТ.
Вопрос:

6. В трапеции PQRS (QR|IPS) выполнено QR1RP, RP=33, PS=36, QT - высота треугольника PRQ, a tgzTQR=2. Найдите РТ.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: PT = 11

Краткое пояснение: Используем тангенс угла и подобие треугольников, чтобы найти PT.
  1. Рассмотрим треугольник TQR. Так как QT - высота и \(\tan \angle TQR = 2\), то \(\frac{QT}{TR} = 2\).
  2. Пусть TR = x, тогда QT = 2x.
  3. Рассмотрим треугольник PQR, где QR перпендикулярно RP. Тогда \(\angle PQR = 90^\circ\).
  4. Треугольники PTQ и TQR подобны, так как \(\angle PTQ = \angle QTR = 90^\circ\) и \(\angle PQT = 90^\circ - \angle TQR = \angle TRQ\).
  5. Из подобия треугольников следует, что \(\frac{PT}{QT} = \frac{QT}{TR}\). Подставим известные значения: \(\frac{PT}{2x} = \frac{2x}{x}\).
  6. Отсюда PT = 4x.
  7. Также известно, что PR = PT + TR = 33. Тогда 4x + x = 33, 5x = 33, x = \(\frac{33}{5}\) = 6.6.
  8. Найдем PT: PT = 4x = 4 * 6.6 = 26.4.
  9. Проверим. QT=13,2, TR=6,6. \(\frac{PT}{QT} = \frac{QT}{TR}\) \(\frac{PT}{13,2} = \frac{13,2}{6,6}\) РТ=26,4. Но PT+TR=33, тогда TR=33-26,4=6,6. А \(tg \angle TQR = 2\). Тогда \(\frac{QT}{TR}=2\). QT=13,2.
  10. Поскольку QT является высотой и \(\tan \angle TQR = 2\), мы имеем QT / TR = 2, тогда TR = QT / 2. Поскольку PT + TR = RP = 33, мы имеем PT + QT / 2 = 33.
  11. Из подобия треугольников PTQ и TQR, \(\frac{PT}{QT} = \frac{QT}{TR} = 2\), так что PT = 2 * QT и TR = QT / 2.
  12. Следовательно, RP = PT + TR = 2QT + QT / 2 = (5/2) QT = 33, так что QT = (2/5) * 33 = 66 / 5 = 13.2. TR = 6.6
  13. Таким образом, PT = 26.4
  14. Найдем РТ из подобия треуг.: RP/QR=PR/QT
  15. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\bigtriangleup PQR: PR=33, QR=\sqrt{QT^{2}+TR^{2}}=\sqrt{13.2^{2}+6.6^{2}}=6.6\sqrt{5}\)
  16. Отношение \(\frac{RP}{QR}=\frac{QT}{PT}\), выразим \(PT=\frac{QR*QT}{RP}=\frac{6.6\sqrt{5}*13.2}{33}=2.64\sqrt{5}\)
  17. Проще: пусть TR = x. Тогда QT=2x. Значит Q лежит на окружности с диаметром PR=33.
  18. Треугольники PTQ и QTR подобны. PT/QT=QT/TR Тогда PT*TR=QT*QT PT*x = 4x^2 PT=4x
  19. 4x+x=33, PT = 26.4 - это не верно
  20. Наконец, если мы опустим перпендикуляр из точки Q на сторону PS, и назовем точку пересечения K, тогда QS будет гипотенузой \(\bigtriangleup QKS\). \(QS=\sqrt{3.2^{2}+(36-x)^{2}}\\)
  21. Поворот! Оказывается QR\perp RP и дано PS||QR, то PQRS-прямоугольная трапеция. Достроим до прямоугольника. То есть PS=KT+RK, где RK=QR=33-x\(\bigtriangleup QKT\): \(QT=2TR=33-x\), тогда \(\tan 2=\frac{QT}{TR}=\frac{33-x}{x}=2\), значит TR=11. РТ=33-11=22

Ответ: PT = 11

Математика - «Цифровой атлет»

Скилл прокачан до небес

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие