3. В треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ вписана окружность, которая касается гипотенузы в точке $$K$$. Известно, что $$AK = 30$$ см, $$BK = 20$$ см. Найдите площадь треугольника.

Пусть $$r$$ – радиус вписанной окружности. Обозначим точки касания окружности с катетами $$AC$$ и $$BC$$ через $$M$$ и $$N$$ соответственно. Тогда $$CM = CN = r$$. Известно, что $$AC = AM + MC$$ и $$BC = BN + NC$$. Также $$AM = AK = 30$$ см и $$BN = BK = 20$$ см. Следовательно, $$AC = 30 + r$$ и $$BC = 20 + r$$. По теореме Пифагора $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$, где $$AB = AK + KB = 30 + 20 = 50$$ см. $$(30 + r)^2 + (20 + r)^2 = 50^2$$ $$900 + 60r + r^2 + 400 + 40r + r^2 = 2500$$ $$2r^2 + 100r + 1300 = 2500$$ $$2r^2 + 100r - 1200 = 0$$ $$r^2 + 50r - 600 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$r = \frac{-50 \pm \sqrt{50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600)}}{2} = \frac{-50 \pm \sqrt{2500 + 2400}}{2} = \frac{-50 \pm \sqrt{4900}}{2} = \frac{-50 \pm 70}{2}$$ $$r_1 = \frac{-50 + 70}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$r_2 = \frac{-50 - 70}{2} = -60$$ (не подходит, так как радиус не может быть отрицательным) Значит, $$r = 10$$ см. Тогда $$AC = 30 + 10 = 40$$ см и $$BC = 20 + 10 = 30$$ см. Площадь треугольника $$ABC$$ равна: $$S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь треугольника равна $$600$$ см$$^2$$.