В треугольник ABC со сторонами BC = 13, CA = 14, AB = 15 вписана окружность Ω. В угол A вписана ещё одна окружность ω, касающаяся прямых AB и AC и внешним образом касающаяся Ω. Найдите наибольшее значение, которое может принимать её радиус. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Полупериметр треугольника: \(p=\frac{13+14+15}{2}=21\).

По формуле Герона площадь равна \(S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\), поэтому радиус вписанной окружности \(\Omega\): \(R=\frac{S}{p}=4\).

Найдём синус половины угла \(A\). По теореме косинусов \(\cos A=\frac{14^2+15^2-13^2}{2\cdot14\cdot15}=\frac35\). Следовательно, \(\sin\frac A2=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}=\frac1{\sqrt5}\).

Центры обеих окружностей, касающихся сторон угла \(A\), лежат на его биссектрисе. Для окружности радиуса \(x\) расстояние от вершины \(A\) до её центра равно \(\frac{x}{\sin(A/2)}\). Внешнее касание допускает окружность меньшего радиуса перед центром \(\Omega\), а также окружность большего радиуса за ним. Для наибольшего радиуса центры находятся по одну сторону от \(A\), причём расстояние между ними равно разности расстояний от \(A\):

\(\frac{r-R}{\sin(A/2)}=r+R\).

Подставим \(R=4\) и \(\sin(A/2)=1/\sqrt5\): \(r-4=\frac{r+4}{\sqrt5}\), откуда \(r=4\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}=2(3+\sqrt5)\approx10.4721359\).

Ответ: 10,472.