В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках K, L и М соответственно. P(АВС) = 120 см, АК : KB = 3 : 5, CL = 4 см. Чему равна сторона АВ? Ответ дайте в сантиметрах.

Пусть AK = 3x, KB = 5x. Обозначим AM = AK = 3x (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности). Также обозначим BL = BK = 5x (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности). И, наконец, CM = CL = 4 см (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности).

Тогда стороны треугольника равны:

• AB = AK + KB = 3x + 5x = 8x


• BC = BL + LC = 5x + 4


• AC = AM + MC = 3x + 4

Периметр треугольника ABC равен 120 см, поэтому:

$$AB + BC + AC = 120$$
$$8x + (5x + 4) + (3x + 4) = 120$$
$$16x + 8 = 120$$
$$16x = 112$$
$$x = \frac{112}{16} = 7$$

Теперь найдем длину стороны AB:

$$AB = 8x = 8 \cdot 7 = 56$$

Ответ: 56