267. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁, ∠A = ∠A₁ = 90°, BD и B₁D₁ - биссектрисы, ∠B = ∠B₁, BD = B₁D₁. Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁ Доказательство: 1. Рассмотрим ΔABD и ΔA₁B₁D₁: * ∠A = ∠A₁ = 90° * BD = B₁D₁ (дано) * ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы и ∠B = ∠B₁) Следовательно, ΔABD = ΔA₁B₁D₁ по гипотенузе и острому углу. 2. Из равенства ΔABD и ΔA₁B₁D₁ следует, что AB = A₁B₁. 3. Рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁: * ∠A = ∠A₁ = 90° * AB = A₁B₁ (доказано выше) * ∠B = ∠B₁ (дано) Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам. Что и требовалось доказать.