В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC\), \(AB = 18\), \(\operatorname{tg} A = \frac{2\sqrt{22}}{9}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Раз треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AC = BC\)), то углы при основании \(AB\) равны, то есть \(\angle A = \angle B\). Опустим высоту \(CH\) на основание \(AB\). Так как треугольник равнобедренный, высота также является медианой, то есть \(AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACH\). Мы знаем, что \(\operatorname{tg} A = \frac{CH}{AH}\), откуда можем найти высоту \(CH\):

\[CH = AH \cdot \operatorname{tg} A = 9 \cdot \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22}\]

Чтобы найти \(AC\), воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника \(ACH\):

\[AC^2 = AH^2 + CH^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 = 81 + 4 \cdot 22 = 81 + 88 = 169\]

Тогда \(AC = \sqrt{169} = 13\).

Ответ: 13

Замечательно! Ты прекрасно справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!