В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC\), \(AB = 14\), \(tgA=\frac{3\sqrt{39}}{7}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Ответ: 16

Так как \(AC = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным.

Шаг 1: Найдем косинус угла \(A\), зная тангенс:

Используем основное тригонометрическое тождество: \(1 + tg^2A = \frac{1}{cos^2A}\)

\[1 + \left(\frac{3\sqrt{39}}{7}\right)^2 = \frac{1}{cos^2A}\]

\[1 + \frac{9 \cdot 39}{49} = \frac{1}{cos^2A}\]

\[1 + \frac{351}{49} = \frac{1}{cos^2A}\]

\[\frac{49 + 351}{49} = \frac{1}{cos^2A}\]

\[\frac{400}{49} = \frac{1}{cos^2A}\]

\[cos^2A = \frac{49}{400}\]

\[cosA = \sqrt{\frac{49}{400}} = \frac{7}{20}\]

Шаг 2: Используем теорему косинусов для стороны \(AB\):

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cosC\]

Так как \(AC = BC\), то \(AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot cosC\)

Угол \(C = 180° - 2A\), поэтому \(cosC = cos(180° - 2A) = -cos(2A)\)

Тогда \(cos(2A) = 2cos^2A - 1 = 2\cdot\left(\frac{7}{20}\right)^2 - 1 = 2\cdot\frac{49}{400} - 1 = \frac{49}{200} - 1 = \frac{49 - 200}{200} = -\frac{151}{200}\)

Значит, \(cosC = -cos(2A) = \frac{151}{200}\)

\[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \frac{151}{200}\]

\[14^2 = 2AC^2 \left(1 - \frac{151}{200}\right)\]

\[196 = 2AC^2 \cdot \frac{200 - 151}{200}\]

\[196 = 2AC^2 \cdot \frac{49}{200}\]

\[AC^2 = \frac{196 \cdot 200}{2 \cdot 49} = \frac{196 \cdot 100}{49} = 4 \cdot 100 = 400\]

\[AC = \sqrt{400} = 20\]

Шаг 3: Найдем высоту \(h\) треугольника, опущенную на сторону \(AB\):

\[tgA = \frac{h}{AB/2} = \frac{h}{7}\]

\[h = 7 \cdot tgA = 7 \cdot \frac{3\sqrt{39}}{7} = 3\sqrt{39}\]

Шаг 4: Найдем \(AC\) по теореме Пифагора:

\[AC^2 = h^2 + (AB/2)^2\]

\[AC^2 = (3\sqrt{39})^2 + 7^2\]

\[AC^2 = 9 \cdot 39 + 49\]

\[AC^2 = 351 + 49\]

\[AC^2 = 400\]

\[AC = \sqrt{400} = 20\]

Ответ: 20