В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=BC\), \(AB=20\), \(\tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Шаг 1: Найдем косинус угла \(A\). Известно, что \(\tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}\). Тогда: \[\sin A = \tg A \cdot \cos A = \frac{\sqrt{5}}{2} \cos A\] Также знаем, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), следовательно: \[(\frac{\sqrt{5}}{2} \cos A)^2 + \cos^2 A = 1\] \[\frac{5}{4} \cos^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\frac{9}{4} \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = \frac{4}{9}\] \[\cos A = \frac{2}{3}\]

Шаг 2: Применим теорему косинусов для стороны \(AB\): \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\] Так как \(AC = BC\), то: \[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos C\] Угол \(C = 180^\circ - 2A\), следовательно, \(\cos C = \cos(180^\circ - 2A) = -\cos(2A)\). Используем формулу двойного угла: \(\cos(2A) = 2\cos^2 A - 1\), тогда: \[\cos(2A) = 2(\frac{2}{3})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{4}{9} - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9}\] \[\cos C = -(-\frac{1}{9}) = \frac{1}{9}\]

Шаг 3: Подставим известные значения в теорему косинусов: \[20^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \frac{1}{9}\] \[400 = 2AC^2 - \frac{2}{9}AC^2\] \[400 = \frac{18}{9}AC^2 - \frac{2}{9}AC^2\] \[400 = \frac{16}{9}AC^2\] \[AC^2 = \frac{400 \cdot 9}{16} = \frac{100 \cdot 9}{4} = 25 \cdot 9 = 225\] \[AC = \sqrt{225} = 15\]