В треугольнике ABC ∠A=40°, ∠B = 70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч BC — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Для доказательства параллельности прямых AC и BD необходимо показать, что внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

1. Найдем угол ACB:

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. Следовательно, $$ \angle ACB = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 40° - 70° = 70° $$.

2. Найдем угол ABC:

Угол ABC равен 70° по условию.

3. Найдем угол CBD:

Так как BC — биссектриса угла ABD, то $$ \angle CBD = \angle ABC = 70° $$.

4. Найдем угол ABD:

$$ \angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = 70° + 70° = 140° $$.

5. Проверим условие параллельности:

Рассмотрим углы BAC и ABD. Они являются внутренними односторонними углами при прямых AC и BD и секущей AB. Их сумма равна $$ \angle BAC + \angle ABD = 40° + 140° = 180° $$.

6. Вывод:

Так как сумма внутренних односторонних углов BAC и ABD равна 180°, то прямые AC и BD параллельны.

Что и требовалось доказать.