3. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠C= 15°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°. а) Докажите, что BD = 2AB. б) Докажите, что ВС < 4АВ.

Предмет: Геометрия a) Докажем, что BD = 2AB. В треугольнике ABC: ∠A = 90°, ∠C = 15° ∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 90° - 15° = 75° ∠DBC = 15° (по условию), тогда ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 75° - 15° = 60° В треугольнике ABD: ∠A = 90°, ∠ABD = 60°, следовательно ∠ADB = 180° - 90° - 60° = 30° В прямоугольном треугольнике ABD катет AB лежит против угла 30°, следовательно BD = 2AB. Что и требовалось доказать. б) Докажем, что BC < 4AB. В треугольнике ABC: ∠A = 90°, ∠C = 15° BD = 2AB (доказано в пункте а) В прямоугольном треугольнике BCD: ∠DBC = ∠C = 15°, следовательно треугольник равнобедренный и BD = CD. BC < BD + CD (сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны) BC < 2BD BC < 2 * 2AB BC < 4AB Что и требовалось доказать.