В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок BM – высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC.

Решение:

1. а) Доказательство равнобедренности треугольника:
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   • Найдем угол B:
     \[ \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 70° - 55° = 55° \]
   • Так как
     \[ \angle B = \angle C = 55° \], то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC (стороны AB и BC равны).
2. б) Нахождение углов, на которые высота делит угол ABC:
   • BM — высота, значит, BM ⊥ AC. Треугольник BMA является прямоугольным.
   • Найдем углы BMA и BAM:
     \[ \angle BMA = 90° \]
     \[ \angle BAM = \angle A = 70° \]
   • Найдем угол ABM:
     \[ \angle ABM = 180° - 90° - 70° = 20° \]
   • Угол ABC = 55°. Высота BM делит его на два угла: ∠ABM и ∠MBC.
   • Найдем угол MBC:
     \[ \angle MBC = \angle ABC - \angle ABM = 55° - 20° = 35° \]

Ответ:

• а) Треугольник равнобедренный с основанием AC.
• б) Угол ABC делится высотой BM на углы 20° и 35°.