4. В треугольнике ABC AB = 6 см, AC = 8 см, а его площадь равна $$12\sqrt{2}$$ см². Найдите третью сторону треугольника, если известно, что угол A — тупой.

Площадь треугольника можно выразить формулой: $$S = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha)$$, где $$a$$ и $$b$$ - стороны треугольника, а $$\alpha$$ - угол между ними.
В нашем случае: $$12\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(A)$$
$$12\sqrt{2} = 24 \sin(A)$$
$$\sin(A) = \frac{12\sqrt{2}}{24} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Так как угол A тупой, то $$A = 135^\circ$$ (или $$\frac{3\pi}{4}$$ радиан).

Теперь найдем третью сторону BC, используя теорему косинусов: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)$$
$$BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(135^\circ)$$
$$BC^2 = 36 + 64 - 96 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$$
$$BC^2 = 100 + 48\sqrt{2}$$
$$BC = \sqrt{100 + 48\sqrt{2}} \approx \sqrt{100 + 48 \cdot 1.414} \approx \sqrt{100 + 67.872} \approx \sqrt{167.872} \approx 12.96$$

Ответ: Третья сторона треугольника BC ≈ 12.96 см.