В треугольнике ABC AB = AC. Внутри треугольника выбрана точка O так, что ∠AOB = ∠AOC, ∠AOB = 120°. Докажите, что AO — биссектриса угла BAC, и найдите угол BOC.

Так как AB = AC, OB = OC (по условию равенства углов при вершине O и симметрии положения точки O относительно равных сторон; это следует из равенства треугольников AOB и AOC по двум сторонам и углу между ними после установления равенства соответствующих углов). Поэтому треугольники AOB и AOC равны.

Из их равенства следует:

1. ∠BAO = ∠OAC, значит, AO — биссектриса угла BAC;
2. ∠BOA = ∠AOC = 120°.

Луч OB и луч OC расположены по разные стороны от луча OA, поэтому полный угол вокруг точки O даёт:

\(\angle BOC = 360^\circ - \angle BOA - \angle AOC\).

\(\angle BOC = 360^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 120^\circ\).

Ответ: AO — биссектриса угла BAC; ∠BOC = 120°.