Решение:

Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Найдем угол B:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 75° - 60° = 45°$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{AC}{\sin{B}}$$ $$\frac{AB}{\sin{60°}} = \frac{12}{\sin{45°}}$$ $$AB = \frac{12 \cdot \sin{60°}}{\sin{45°}} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{6}$$

Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \sin{75°}$$ $$S_{ABC} = 36\sqrt{6} \cdot \sin{75°}$$

Найдем \(\sin{75°}\) как \(\sin(45°+30°)\):

$$\sin{75°} = \sin(45°+30°) = \sin{45°}\cos{30°} + \cos{45°}\sin{30°} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Подставим найденное значение синуса в формулу площади:

$$S_{ABC} = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 9(6 + \sqrt{12}) = 9(6 + 2\sqrt{3}) = 54 + 18\sqrt{3}$$

Ответ: $$AB = 6\sqrt{6}$$ см, $$S_{ABC} = 54 + 18\sqrt{3}$$ $$см^2$$.