В треугольнике ABC AC = BC, AB = 18, \(tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Найдите длину стороны AC.

Так как AC = BC, треугольник ABC равнобедренный. Значит, углы при основании AB равны, то есть \(\angle A = \angle B\). Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 cdot AC cdot BC cdot cos A\] Так как AC = BC, уравнение упрощается до: \[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 cdot cos A\] \[AB^2 = 2AC^2 (1 - cos A)\] Нам известно \(tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Чтобы найти \(cos A\), можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством и соотношением между тангенсом и косинусом: \[tg^2 A + 1 = \frac{1}{cos^2 A}\] \[\frac{7}{9} + 1 = \frac{1}{cos^2 A}\] \[\frac{16}{9} = \frac{1}{cos^2 A}\] \[cos^2 A = \frac{9}{16}\] \[cos A = \frac{3}{4}\] (Мы берем положительное значение косинуса, так как угол A острый в равнобедренном треугольнике). Теперь подставим известные значения в уравнение: \[18^2 = 2AC^2 (1 - \frac{3}{4})\] \[324 = 2AC^2 \cdot \frac{1}{4}\] \[324 = \frac{1}{2}AC^2\] \[AC^2 = 648\] \[AC = \sqrt{648} = \sqrt{324 \cdot 2} = 18\sqrt{2}\] Ответ: \(18\sqrt{2}\)