9. В треугольнике ABC AC = BC, AH – высота, AB = 26, sin BAC = 12/13. Найди BH.

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. Понимание условия: - Дан треугольник ABC, в котором AC = BC (равнобедренный треугольник). - AH – высота, проведенная к стороне BC. - AB = 26. - \(\sin(\angle BAC) = \frac{12}{13}\) - Нужно найти BH. 2. Нахождение косинуса угла BAC: Известно, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Значит, \(\cos^2(\angle BAC) = 1 - \sin^2(\angle BAC) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\) Таким образом, \(\cos(\angle BAC) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\) (берем положительное значение, так как угол BAC острый). 3. Нахождение длины AC (или BC): Рассмотрим треугольник ABH. В нем: \(\sin(\angle BAC) = \frac{BH}{AB}\) или \(\cos(\angle BAC) = \frac{AH}{AB}\) Так как AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Высота AH является также и медианой. В прямоугольном треугольнике ABH, \(\cos(\angle BAC) = \frac{AH}{AB}\) и AH является катетом. Также, AH является высотой треугольника ABC. Используем свойство равнобедренного треугольника: высота, проведённая к основанию, является медианой. Обозначим середину AB как точку M. Тогда CM – высота, медиана и биссектриса. Используем теорему синусов в треугольнике ABC: \(\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\) Так как AC = BC, \(\angle BAC = \angle ABC\), следовательно, \(\sin(\angle ABC) = \frac{12}{13}\). Найдем угол ACB: \(\angle ACB = 180^\circ - 2 \cdot \angle BAC\). Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\). \(\sin(\angle ACB) = \sin(180^\circ - 2 \cdot \angle BAC) = \sin(2 \cdot \angle BAC) = 2 \sin(\angle BAC) \cos(\angle BAC) = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{120}{169}\) Теперь применим теорему синусов: \(\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\) \(\frac{26}{\frac{120}{169}} = \frac{AC}{\frac{12}{13}}\) \(AC = \frac{26 \cdot \frac{12}{13}}{\frac{120}{169}} = \frac{26 \cdot 12 \cdot 169}{13 \cdot 120} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 13}{120/13} = \frac{2 \cdot 13 \cdot 13}{10} = \frac{338}{10} = 33.8\) Итак, AC = BC = 33.8. 4. Нахождение BH: В прямоугольном треугольнике ABH: \(\sin(\angle BAC) = \frac{BH}{AB}\) \(\frac{12}{13} = \frac{BH}{26}\) \(BH = 26 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24\) Ответ: BH = 24