В треугольнике ABC BM – медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 216/2 = 108.

Тогда MH = MC - HC = 108 - 54 = 54. Значит, MH = HC, а треугольник BHC - прямоугольный, следовательно, BH - медиана в прямоугольном треугольнике BHC и BH = MH = HC = 54.

Рассмотрим треугольник ABH. В нем медиана BH равна половине стороны AH, следовательно, этот треугольник прямоугольный, угол ABH = 90°.

В треугольнике BHC угол CBH = 90° - ∠BCH = 90° - 40° = 50°.

Тогда угол ABC = ∠ABH + ∠CBH = 90° + 50° = 140°.

Рассмотрим треугольник ABC. В нем ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 140° - 40° = 0°.

По теореме синусов $$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = \frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AB}{\sin{\angle ACB}}$$.

$$\frac{216}{\sin{140°}} = \frac{BC}{\sin{0°}} = \frac{AB}{\sin{40°}}$$.

Ответ: Условие некорректно, так как угол BAC равен 0 градусов, а синус 0 равен 0. Треугольника с такими данными не существует.