В треугольнике ABC ∠C=60°, ∠B=90°. Высота ВВ₁ равна 2см. Найти АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \):

1. \( \angle C = 60^{\circ} \), \( \angle B = 90^{\circ} \).
2. Следовательно, \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
3. Высота \( BB_1 = 2 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BB_1C \):

1. \( \angle C = 60^{\circ} \) (по условию).
2. \( \angle BB_1C = 90^{\circ} \) (так как \( BB_1 \) — высота).
3. \( \angle CBB_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
4. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BB_1C \) катет \( BB_1 \) лежит против угла \( 30^{\circ} \), поэтому \( BB_1 = \frac{1}{2} BC \).
5. \( BC = 2 \cdot BB_1 = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \):

1. \( \angle A = 30^{\circ} \).
2. Катет \( BC \) лежит против угла \( 30^{\circ} \).
3. По свойству катета, противолежащего углу в \( 30^{\circ} \), \( BC = \frac{1}{2} AB \).
4. \( AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см} \).

Ответ: 8 см.