В треугольнике ABC, где AC - основание, угол C = 105°, а сторона AB = 6 и угол A = 60°, найти BC и угол B.

Рассмотрим треугольник ABC.

1. Найдём угол B.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно:

   $$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 105° = 15°$$

2. Найдём сторону BC.

   Используем теорему синусов:

   $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$$

   Выразим BC:

   $$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 60°}{\sin 105°}$$

   Найдём значение синуса 60° и синуса 105°.

   $$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$

   Синус 105° можно найти, используя формулу синуса суммы углов:

   $$\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.966$$

   Подставим значения в формулу для BC:

   $$BC = \frac{6 \cdot 0.866}{0.966} \approx \frac{5.196}{0.966} \approx 5.38$$

Ответ: ∠B = 15°, BC ≈ 5.38