3. В треугольнике ABC известно, что ∠C= 90°, ∠B=30°. На катете BC отме- тили точку D такую, что ∠ADC = 60°. Найти катет BC, если CD= 4 см.

Ответ: BC = 4\( \sqrt{3} + 4 \) см

1. Рассмотрим треугольник ADC:
• ∠ADC = 60°, ∠ACD = 90°, следовательно, ∠DAC = 180° - 90° - 60° = 30°.
• В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, AC = 2 * CD = 2 * 4 см = 8 см.
2. Рассмотрим треугольник ABC:
• ∠ABC = 30°, ∠ACB = 90°.
• tg(∠ABC) = AC / BC, следовательно, BC = AC / tg(∠ABC) = 8 / tg(30°) = 8 / (1 / √3) = 8√3 см.
• AD = 4√3
3. Найдем BD:
   • Рассмотрим треугольник \(\triangle ADB\). \(AD = 4\sqrt{3}\) см. \(\angle ADB = 120^\circ\) Применим теорему синусов: \[\frac{AD}{\sin B} = \frac{BD}{\sin A}\] \[\frac{4\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = \frac{BD}{\sin 30^\circ}\] \[BD = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \cdot 2 = 8\]
4. Найдем BC:
   • \(BC = CD + BD = 4 + 4\sqrt{3}\) см

Ответ: BC = 4\( \sqrt{3} + 4 \) см