4. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок BM — биссектриса треугольника. Найдите катет AC, если BM = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90° и углом A = 30°, угол B = 180° - (90° + 30°) = 60°. BM - биссектриса, значит угол ABM = угол CBM = 60° / 2 = 30°. Рассмотрим треугольник BMA, в котором угол A = 30° и угол ABM = 30°, следовательно, треугольник BMA равнобедренный и AM = BM = 6 см. По определению, sin(A) = BC / AB. Так как угол A = 30°, то sin(30°) = 1/2, следовательно BC = AB / 2. cos(A) = AC / AB. AC = AB * cos(30°) = AB * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) Из определения тангенса угла A: tan(30°) = BC / AC = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) . Следовательно, AC = BC * \(\sqrt{3}\). Так как AM = 6 см и угол A = 30°, то AC = AM * \(\sqrt{3}\) = 6\(\sqrt{3}\) см. Ответ: AC = 6\(\sqrt{3}\) см.