В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 20, AC = 32. Найдите площадь треугольника ABC.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу Герона. Сначала найдём полупериметр треугольника ABC: \[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{20 + 20 + 32}{2} = \frac{72}{2} = 36\] Теперь, используя формулу Герона для площади треугольника: \[S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\] Подставляем значения: \[S = \sqrt{36(36 - 20)(36 - 20)(36 - 32)}\] \[S = \sqrt{36 cdot 16 cdot 16 cdot 4}\] \[S = \sqrt{36 cdot 16^2 cdot 4}\] \[S = \sqrt{6^2 cdot 16^2 cdot 2^2}\] \[S = 6 cdot 16 cdot 2\] \[S = 192\] Итак, площадь треугольника ABC равна 192. **Развёрнутый ответ для ученика:** 1. **Понимание задачи:** Нам дан треугольник, где две стороны (AB и BC) равны 20, а третья сторона (AC) равна 32. Нас просят найти площадь этого треугольника. 2. **Формула Герона:** Для того, чтобы найти площадь, когда мы знаем все три стороны, мы используем формулу Герона. Она звучит так: ( S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} ), где a, b, и c - длины сторон треугольника, а p - это полупериметр, который равен половине суммы всех сторон. 3. **Нахождение полупериметра (p):** Сначала мы находим полупериметр, сложив все стороны и разделив на 2: (p = \frac{20 + 20 + 32}{2} = 36). 4. **Применение формулы Герона:** Теперь подставляем значения в формулу Герона: ( S = \sqrt{36(36 - 20)(36 - 20)(36 - 32)} ). Упрощаем выражения в скобках, получаем ( S = \sqrt{36 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 4}). 5. **Упрощение:** Извлекаем корень: ( S = \sqrt{6^2 \cdot 16^2 \cdot 2^2} ), что равно ( S = 6 \cdot 16 \cdot 2). Умножаем, и получаем (S = 192). **Итоговый ответ:** Площадь треугольника ABC равна 192.