312. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠A = 60°, ∠BCD – смежный с ∠ACB, CM – биссектриса угла BCD. Докажите, что AB || CM.

Дано: ΔABC, AB = BC, ∠A = 60°, ∠BCD - смежный с ∠ACB, CM - биссектриса ∠BCD.

Доказать: AB || CM

Доказательство:

1. Т.к. AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный, следовательно углы при основании равны, т.е. ∠A = ∠C = 60°.
2. Тогда ∠ABC = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (60° + 60°) = 60°.
3. ∠ACB = 60°, ∠BCD - смежный с ∠ACB, значит ∠BCD = 180° - ∠ACB = 180° - 60° = 120°.
4. CM - биссектриса угла BCD, следовательно ∠BCM = ∠DCM = 1/2 * ∠BCD = 1/2 * 120° = 60°.
5. Рассмотрим углы ∠ABC и ∠BCM. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AB и CM и секущей BC.
6. Т.к. ∠ABC = ∠BCM = 60°, то углы равны.
7. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, AB || CM, что и требовалось доказать.

Ответ: AB || CM.