В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 15 и sin(∠BAC) = 0.6. Найдите высоту, опущенную из вершины C.

Давайте решим эту задачу. Так как AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным. Обозначим высоту, опущенную из вершины C, как h. Эта высота делит основание AB пополам, и назовём точку, куда опускается высота, D. Таким образом, AD = DB = AB / 2 = 15 / 2 = 7.5. Также у нас есть sin(∠BAC) = 0.6. Синус угла A равен отношению противолежащего катета (высоты h) к гипотенузе AC в треугольнике ADC. Но нам не известна длина AC или BC. Чтобы найти высоту, мы сначала найдем косинус угла A (∠BAC) через основное тригонометрическое тождество: $$sin^2(A) + cos^2(A) = 1$$ $$0.6^2 + cos^2(A) = 1$$ $$0.36 + cos^2(A) = 1$$ $$cos^2(A) = 1 - 0.36$$ $$cos^2(A) = 0.64$$ $$cos(A) = \sqrt{0.64}$$ $$cos(A) = 0.8$$ Теперь можно использовать теорему косинусов для треугольника ABC, чтобы выразить AC (или BC, так как они равны). Пусть AC = BC = x: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(C)$$ Зная, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, ∠A=∠B. Тогда ∠C = 180 - 2*∠A. Но нам cos(C) не нужен, а нужен cos(A). Вместо этого мы можем использовать теорему косинусов для угла A: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(A)$$ Подставим наши значения: $$x^2 = 15^2 + x^2 - 2 * 15 * x * 0.8$$ $$x^2 = 225 + x^2 - 24x$$ Вычитаем x^2 с обеих сторон $$0=225 - 24x$$ $$24x = 225$$ $$x = \frac{225}{24} = \frac{75}{8} = 9.375$$ Теперь, когда мы знаем длину AC (или BC), мы можем найти высоту CD с помощью sin(A) в треугольнике ADC: $$sin(A) = \frac{CD}{AC}$$ $$0.6 = \frac{h}{9.375}$$ $$h = 0.6 * 9.375$$ $$h = 5.625$$ Значит, высота, опущенная из вершины C, равна 5.625. **Ответ:** Высота равна 5.625