В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, \( tg A = \frac{\sqrt{5}}{2} \). Найдите длину стороны AC.

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. Обозначения и анализ: - Пусть \(AC = BC = x\). - Известно, что \(AB = 20\) и \(tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}\). - Треугольник ABC равнобедренный, так как \(AC = BC\). 2. Использование теоремы косинусов: В треугольнике ABC теорема косинусов для угла A имеет вид: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cos A\] Подставляем известные значения: \[x^2 = 20^2 + x^2 - 2 cdot 20 cdot x cdot cos A\] Упрощаем: \[0 = 400 - 40x cdot cos A\] \[40x cdot cos A = 400\] \[x cdot cos A = 10\] \[cos A = \frac{10}{x}\] 3. Нахождение \(cos A\) через \(tg A\): Мы знаем, что \(tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}\). Вспомним основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 A + cos^2 A = 1\] И то, что \(tg A = \frac{sin A}{cos A}\), следовательно, \(sin A = tg A cdot cos A\). Тогда: \[(tg A cdot cos A)^2 + cos^2 A = 1\] \[(\frac{\sqrt{5}}{2} cdot cos A)^2 + cos^2 A = 1\] \[\frac{5}{4} cos^2 A + cos^2 A = 1\] \[\frac{9}{4} cos^2 A = 1\] \[cos^2 A = \frac{4}{9}\] \[cos A = \frac{2}{3}\] (так как угол A острый, косинус положительный). 4. Нахождение \(x\): Теперь, когда мы знаем \(cos A = \frac{2}{3}\), подставим это в уравнение \(x cdot cos A = 10\): \[x cdot \frac{2}{3} = 10\] \[x = 10 cdot \frac{3}{2}\] \[x = 15\] Таким образом, длина стороны AC равна 15. Ответ: 15