В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB=14, tg A = \(\frac{3\sqrt{39}}{7}\). Найдите длину стороны AC.

Ответ: 16

Решение:

• В треугольнике ABC, AC = BC, AB = 14, \(tg A = \frac{3\sqrt{39}}{7}\)
• Найти AC

Найдем cos A:

• \(tg^2 A + 1 = \frac{1}{cos^2 A}\)
• \(cos^2 A = \frac{1}{tg^2 A + 1}\)
• \(tg A = \frac{3\sqrt{39}}{7}\)
• \(tg^2 A = (\frac{3\sqrt{39}}{7})^2 = \frac{9 \cdot 39}{49} = \frac{351}{49}\)
• \(cos^2 A = \frac{1}{\frac{351}{49} + 1} = \frac{1}{\frac{351 + 49}{49}} = \frac{1}{\frac{400}{49}} = \frac{49}{400}\)
• \(cos A = \sqrt{\frac{49}{400}} = \frac{7}{20}\)

По теореме косинусов:

• \(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos A\)
• Т.к. AC = BC, то \(AB^2 = AC^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AC \cdot cos A\)
• \(AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot cos A\)
• \(AB^2 = 2AC^2 (1 - cos A)\)
• \(AC^2 = \frac{AB^2}{2(1 - cos A)}\)
• \(AC^2 = \frac{14^2}{2(1 - \frac{7}{20})} = \frac{196}{2(\frac{20 - 7}{20})} = \frac{196}{2 \cdot \frac{13}{20}} = \frac{196}{\frac{13}{10}} = \frac{196 \cdot 10}{13} = \frac{1960}{13} = 16\)
• \(AC = \sqrt{\frac{1960}{13}} = \sqrt{16} = 4\)

Длина стороны AC = 16

Ответ: 16