В треугольнике ABC известно, что AC = 10√2 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. Найдите сторону AB треугольника и радиус описанной около него окружности.

По теореме синусов сторона \(AC\), лежащая напротив угла \(B\), удовлетворяет равенству \(\frac{AC}{\sin B}=2R\).

Сначала найдём радиус: \(2R=\frac{10\sqrt{2}}{\sin45^\circ}=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}=20\), поэтому \(R=10\) см.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), значит \(\angle A=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).

Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(C\), поэтому \(AB=2R\sin C=20\cdot\frac12=10\) см.

Ответ: \(AB=10\) см, \(R=10\) см.