В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 14, \( \mathrm{tg} A = \frac{3\sqrt{39}}{7} \). Найдите длину стороны AC.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник ABC — равнобедренный. Высота CD, опущенная из вершины C на основание AB, делит его пополам. Следовательно, \( AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

В прямоугольном треугольнике ADC:

\( \mathrm{tg} A = \frac{CD}{AD} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{3\sqrt{39}}{7} = \frac{CD}{7} \)

Отсюда \( CD = 3\sqrt{39} \).

Теперь найдём длину гипотенузы AC, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC:

\( AC^2 = AD^2 + CD^2 \)

\( AC^2 = 7^2 + (3\sqrt{39})^2 \)

\( AC^2 = 49 + 9 \cdot 39 \)

\( AC^2 = 49 + 351 \)

\( AC^2 = 400 \)

\( AC = \sqrt{400} \)

\( AC = 20 \)

Ответ: 20