В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB=18, tgA = √7/3. Найдите длину стороны AC.

Пошаговое решение:

• В равнобедренном треугольнике ABC, AC = BC, следовательно, углы при основании AB равны: ∠A = ∠B.
• Нам дано, что tg A = \( \frac{\sqrt{7}}{3} \).
• Проведем высоту CD из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
• Следовательно, AD = DB = AB/2 = 18/2 = 9.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем:
• tg A = \( \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD} \)
• \( \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{CD}{9} \)
• Выразим CD: \( CD = 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = 3\sqrt{7} \)
• Теперь найдем длину боковой стороны AC, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC:
• \( AC^2 = AD^2 + CD^2 \)
• \( AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2 \)
• \( AC^2 = 81 + (9 \cdot 7) \)
• \( AC^2 = 81 + 63 \)
• \( AC^2 = 144 \)
• \( AC = \sqrt{144} = 12 \)

Ответ: 12