4. В треугольнике ABC известно, что BC = 10, \(\angle B = 60^\circ\), угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Дано:
$$BC = 10$$
$$\angle B = 60^\circ$$
$$\angle C = 90^\circ$$

Найти: Радиус описанной окружности.

Решение:
1. Так как угол C прямой ($$90^\circ$$), то треугольник ABC - прямоугольный. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы AB. Следовательно, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

2. Найдем гипотенузу AB. В прямоугольном треугольнике ABC: $$\sin{B} = \frac{AC}{AB}$$. Тогда $$AB = \frac{AC}{\sin{B}}$$.

3. Найдем AC. В прямоугольном треугольнике ABC: $$\tan{B} = \frac{AC}{BC}$$. Тогда $$AC = BC \cdot \tan{B} = 10 \cdot \tan{60^\circ} = 10 \sqrt{3}$$.

4. Теперь найдем AB: $$AB = \frac{10 \sqrt{3}}{\sin{60^\circ}} = \frac{10 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10 \cdot 2 = 20$$.

5. Радиус описанной окружности $$R = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$$.

Ответ: Радиус описанной окружности равен $$\bold{10}$$.