В треугольнике ABC пересекаются биссектрисы углов A и B. Точка пересечения K соединена с третьей вершиной C. Определи угол BCK, если угол AKB = 105°.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! 1. Вспомним основное: Сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. Биссектриса делит угол пополам. 2. Рассмотрим треугольник AKB: Мы знаем, что ∠AKB = 105°. Пусть ∠A = 2α и ∠B = 2β (так как AK и BK - биссектрисы). Тогда половинки этих углов, ∠KAB = α и ∠KBA = β. 3. Найдем сумму углов α и β: В треугольнике AKB: \[α + β + 105° = 180°\] \[α + β = 180° - 105°\] \[α + β = 75°\] 4. Найдем сумму углов A и B: \[∠A + ∠B = 2α + 2β = 2(α + β) = 2 * 75° = 150°\] 5. Найдем угол C: В треугольнике ABC: \[∠A + ∠B + ∠C = 180°\] \[150° + ∠C = 180°\] \[∠C = 180° - 150°\] \[∠C = 30°\] 6. Найдем угол BCK: Так как CK соединяет точку K с вершиной C, а K – точка пересечения биссектрис углов A и B, то CK является биссектрисой угла C. Следовательно, ∠BCK – половина угла C. \[∠BCK = \frac{∠C}{2} = \frac{30°}{2} = 15°\] Ответ: ∠BCK = 15°