В треугольнике ABC пересекаются биссектрисы углов A и B. Точка пересечения K соединена с вершиной C. Найдите угол \(\angle BCK\), если \(\angle AKB = 105^\circ\).

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. Анализ условия задачи: В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Нужно найти угол BCK, если известен угол AKB. 2. Решение: * Обозначим углы \(\angle A = 2\alpha\) и \(\angle B = 2\beta\). Тогда углы \(\angle KAB = \alpha\) и \(\angle KBA = \beta\), так как AK и BK - биссектрисы. * Рассмотрим треугольник AKB. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Следовательно: \[\angle AKB + \angle KAB + \angle KBA = 180^\circ\] \[105^\circ + \alpha + \beta = 180^\circ\] \[\alpha + \beta = 180^\circ - 105^\circ\] \[\alpha + \beta = 75^\circ\] * Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в этом треугольнике также равна \(180^\circ\): \[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\] \[2\alpha + 2\beta + \angle C = 180^\circ\] Вынесем 2 за скобки: \[2(\alpha + \beta) + \angle C = 180^\circ\] Подставим значение \(\alpha + \beta = 75^\circ\): \[2 \cdot 75^\circ + \angle C = 180^\circ\] \[150^\circ + \angle C = 180^\circ\] \[\angle C = 180^\circ - 150^\circ\] \[\angle C = 30^\circ\] * По условию, KC - линия, соединяющая точку K с вершиной C, но не обязательно биссектриса угла C. Так как AK и BK биссектрисы, но CK не обязательно является биссектрисой угла \(\angle ACB\), то угол \(\angle BCK = 15^\circ\). 3. Ответ: \[\angle BCK = 15^\circ\] Итоговый ответ: \(\angle BCK = 15^\circ\).