В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите углы треугольника, если известно, что AD = BD = AC.

Для решения задачи необходимо рассмотреть несколько треугольников и использовать свойства равнобедренных треугольников и биссектрис.

1. Обозначим углы:
   • Пусть $$\angle BAC = \alpha$$. Так как AD - биссектриса, то $$\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$$.
   • Пусть $$\angle ADB = \beta$$.
2. Рассмотрим треугольник ABD. Так как AD = BD, то треугольник ABD равнобедренный, и углы при основании равны: $$\angle BAD = \angle ABD = \frac{\alpha}{2}$$. Следовательно, $$\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - \alpha$$. Таким образом, $$\beta = 180^\circ - \alpha$$.
3. Рассмотрим треугольник ADC. Из условия AD = AC, следует, что треугольник ADC - равнобедренный. Тогда $$\angle ADC = 180^\circ - \beta = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$$. Следовательно, $$\angle ACD = \angle ADC = \alpha$$.
4. В треугольнике ADC имеем $$\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$$, то есть $$\frac{\alpha}{2} + \alpha + \alpha = 180^\circ$$.
5. Решим уравнение: $$\frac{\alpha}{2} + 2\alpha = 180^\circ$$. Умножим обе части на 2: $$\alpha + 4\alpha = 360^\circ$$, откуда $$5\alpha = 360^\circ$$, и $$\alpha = 72^\circ$$.
6. Теперь найдем углы треугольника ABC:
   • $$\angle BAC = \alpha = 72^\circ$$
   • $$\angle ABC = \frac{\alpha}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$$
   • $$\angle ACB = \alpha = 72^\circ$$
7. Проверим, что сумма углов треугольника равна 180 градусам: $$72^\circ + 36^\circ + 72^\circ = 180^\circ$$.