5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALB равен 117°, а угол ACB равен 67°. Найдите угол ABC.

В треугольнике ALB: $$\angle ALB = 117^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle LAB = 180^{\circ} - 117^{\circ} - \angle LBA $$. В треугольнике ABC, AL - биссектриса, значит $$\angle BAC = 2 \cdot \angle LAC$$. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, т.е. $$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$$. Пусть $$\angle LAC = x$$, тогда $$\angle BAC = 2x$$. Известно, что $$\angle ACB = 67^{\circ}$$. В треугольнике ALB: $$\angle LAB = x$$, $$\angle ALB = 117^{\circ}$$, тогда $$\angle LBA = 180^{\circ} - 117^{\circ} - x = 63^{\circ} - x$$. Тогда в треугольнике ABC: $$\angle ABC = 2 \cdot \angle LBA = 2 \cdot (63^{\circ} - x) = 126^{\circ} - 2x$$. Используя сумму углов в треугольнике ABC: $$2x + (126^{\circ} - 2x) + 67^{\circ} = 180^{\circ}$$. Это уравнение упрощается до $$193^{\circ} = 180^{\circ}$$, что неверно. Значит, $$\angle ABC=180-67-2x$$ В треугольнике ALB имеем: $$\angle BAL + \angle ALB + \angle ABL = 180^{\circ}$$ $$\angle BAL + 117^{\circ} + \angle ABL = 180^{\circ}$$ $$\angle BAL + \angle ABL = 63^{\circ}$$ Так как AL биссектриса, то $$\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL$$ Пусть $$\angle ABL = y$$, тогда $$\angle ABC = y$$ В треугольнике ABC имеем: $$\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^{\circ}$$ $$2 \cdot \angle BAL + 67^{\circ} + y = 180^{\circ}$$ $$2 \cdot \angle BAL + y = 113^{\circ}$$ Из первого уравнения $$\angle BAL = 63^{\circ} - y$$ Подставляем во второе уравнение: $$2 \cdot (63^{\circ} - y) + y = 113^{\circ}$$ $$126^{\circ} - 2y + y = 113^{\circ}$$ $$126^{\circ} - y = 113^{\circ}$$ $$y = 13^{\circ}$$ Тогда $$\angle ABC = 26^{\circ}$$. **Ответ: 26**