В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 56° и BM = AM = MC.

Решение:

Так как BM = AM = MC, то точка M является центром описанной окружности для треугольника ABC. Медиана BM является радиусом этой окружности. В равнобедренном треугольнике ABC (так как AM = MC) медиана BM является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \( \angle AMB = 90^{\circ} \). В треугольнике BCM: \( \angle MBC = \angle MCB = 56^{\circ} \) (так как BC = BM, что невозможно, если BM - медиана и \( BM = AM = MC \)).

Пересмотрим условие: \( BM = AM = MC \) означает, что M - центр описанной окружности, а BM, AM, MC - радиусы. Это верно для любого треугольника, если M - середина гипотенузы прямоугольного треугольника. Значит, \( \angle BAC = 90^{\circ} \).

Но по условию BM - медиана. Если \( BM = AM = MC \), то треугольник ABC прямоугольный и \( \angle BAC = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 56^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)

\( 90^{\circ} + \angle B + 56^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 56^{\circ} = 34^{\circ} \)

Ответ: 90°.