В треугольнике $$ABC$$ проведены медиана $$BM$$ и высота $$BH$$. Известно, что $$AH = 54$$, $$BC = BM$$. Найдите длину стороны $$AC$$.

Пусть $$M$$ - середина $$AC$$, тогда $$AM = MC = x$$. Значит, $$AC = 2x$$. Также известно, что $$BC = BM$$. Обозначим $$\angle C = \alpha$$. Тогда $$\angle BMC = \alpha$$ как углы при основании равнобедренного треугольника $$BCM$$. $$\angle AMB = 180^\circ - \alpha$$, так как смежные углы. Рассмотрим треугольник $$ABH$$. Угол $$H$$ прямой, так как $$BH$$ - высота. $$AH = 54$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. $$BM$$ - медиана и $$BM = BC$$. Пусть $$BM = BC = y$$. Из треугольника $$BCM$$ по теореме синусов: $$\frac{MC}{\sin \angle BMC} = \frac{BM}{\sin \angle C}$$ $$\frac{x}{\sin \alpha} = \frac{y}{\sin (180^\circ - \alpha)}$$ Из треугольника $$ABM$$ по теореме синусов: $$\frac{AM}{\sin \angle ABM} = \frac{BM}{\sin \angle BAM}$$ $$\frac{x}{\sin \angle ABM} = \frac{y}{\sin \angle BAM}$$ Рассмотрим треугольник $$BHC$$. $$BH$$ - высота, значит, $$\angle BHC = 90^\circ$$. $$\sin C = \frac{BH}{BC} \Rightarrow BH = BC \sin C = y \sin \alpha$$ Рассмотрим треугольник $$BHA$$. $$BH^2 + AH^2 = AB^2 \Rightarrow BH^2 + 54^2 = AB^2$$ $$y^2 \sin^2 \alpha + 54^2 = AB^2$$ Так как $$BM = BC$$, то треугольник $$BCM$$ - равнобедренный. Тогда $$\angle MBC = \angle MCB = \alpha$$. Тогда $$\angle AMB = 180^\circ - 2\alpha$$. Если продлим высоту $$BH$$ до пересечения с медианой $$BM$$ в точке $$K$$, то получим прямоугольный треугольник $$BCK$$, где $$BK$$ - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника $$ABC$$. Воспользуемся свойством медианы: $$AM=MC$$. $$BM=BC=y$$, $$AH=54$$ Пусть $$AC=z$$. Так как $$BM=BC$$, \(\angle CMB = \angle C = \alpha\). Тогда \(\angle AMB = 180^\circ - \alpha\). По теореме синусов для треугольника \(ABM\): \(\frac{AM}{\sin \angle ABM} = \frac{BM}{\sin A}\). По теореме синусов для треугольника \(BCM\): \(\frac{MC}{\sin \angle CBM} = \frac{BM}{\sin C}\). По теореме косинусов для треугольника \(ABM\): \(AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2\cdot AM \cdot BM \cdot \cos \angle AMB\). По теореме косинусов для треугольника \(BCM\): \(BC^2 = MC^2 + BM^2 - 2\cdot MC \cdot BM \cdot \cos \angle CMB\). По условию $$BM = BC$$, поэтому обозначим их длину как $$x$$. Так как $$BM$$ - медиана, то $$AM = MC$$. Обозначим $$AM = MC = y$$. Пусть $$\angle C = \alpha$$, тогда $$\angle CMB = \alpha$$ (так как $$\triangle BCM$$ равнобедренный). Значит, $$\angle AMB = 180^\circ - \alpha$$. По теореме косинусов для $$\triangle BCM$$: $$x^2 = y^2 + x^2 - 2xy \cos \alpha \Rightarrow y = 2y \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ$$. $$\angle AMB = 120^\circ$$. $$AH = 54$$. $$\angle C = 60^\circ$$. \(\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - A = 120^\circ - A\). $$BH = BC \sin 60^\circ = x \frac{\sqrt{3}}{2}$$. $$AB^2 = BH^2 + AH^2 = \frac{3}{4}x^2 + 54^2$$ Т.к. $$AH = 54$$ и $$BC = BM$$, а $$\angle C = 60^\circ$$, следовательно, треугольник $$ABC$$ является прямоугольным с углом $$A = 30^\circ$$. Тогда $$BC = \frac{1}{2}AC$$ (катет, лежащий против угла 30 градусов). $$BM = BC = \frac{1}{2}AC$$. А так как $$BM$$ - медиана, то $$AM = MC = \frac{1}{2}AC$$. Таким образом, $$BC = BM = AM = MC$$. Значит, точка $$M$$ - центр описанной окружности прямоугольного треугольника $$ABC$$, и $$R = AM = BM = CM = BC$$. $$AB = AC \cos 30^\circ = AC \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$BH = AB \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}AC \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}AC$$ $$\frac{AC}{2} = x$$, поэтому $$AC = 2x$$. $$AC = 108$$. Ответ: 108