25. В треугольнике ABC проведены отрезки BM к стороне AC и AF к стороне BC. Данные отрезки пересекаются в точке T. Найди отношение площади четырехугольника TFCM к площади треугольника ATB, если AM = CM, \(\angle CAF = \angle BAF\), AB : AC = 1 : 4.

Пусть (S_{TFCM}) - площадь четырехугольника TFCM, а (S_{ATB}) - площадь треугольника ATB. Нужно найти отношение (S_{TFCM} : S_{ATB}). Так как AM = CM, то BM - медиана треугольника ABC. Так как \(\angle CAF = \angle BAF\), то AF - биссектриса треугольника BAC. Также, дано, что AB : AC = 1 : 4, то есть \(\frac{AB}{AC} = \frac{1}{4}\). Пусть AB = x, тогда AC = 4x. Так как AM = CM, то AM = MC = 2x. По свойству биссектрисы треугольника, \(\frac{BF}{FC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{4}\). Пусть BF = y, тогда FC = 4y, и BC = BF + FC = y + 4y = 5y. Найдем отношение площадей треугольников ABF и AFC. \(\frac{S_{ABF}}{S_{AFC}} = \frac{BF}{FC} = \frac{1}{4}\), следовательно, (S_{ABF} = \frac{1}{4} S_{AFC}\). Так как AF - биссектриса, то площади треугольников ABF и AFC относятся как 1:4. Площадь треугольника ABC можно выразить как (S_{ABC} = S_{ABF} + S_{AFC} = \frac{1}{4}S_{AFC} + S_{AFC} = \frac{5}{4} S_{AFC}\). Отсюда (S_{AFC} = \frac{4}{5} S_{ABC}\). Найдем отношение площадей треугольников ABM и CBM. Так как BM - медиана, то (S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{1}{2} S_{ABC}\). Теперь рассмотрим треугольник ABM. Отрезок AT - биссектриса угла BAM. \(\frac{S_{ATB}}{S_{ATM}} = \frac{AB}{AM} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\), то есть (S_{ATM} = 2 S_{ATB}\). (S_{ABM} = S_{ATB} + S_{ATM} = S_{ATB} + 2 S_{ATB} = 3 S_{ATB}\). Следовательно, (S_{ATB} = \frac{1}{3} S_{ABM} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}\). Теперь рассмотрим треугольник CBF. Отрезок CT - чевиана. По теореме Менелая для треугольника CBF и прямой AM, имеем: \(\frac{CA}{AM} \cdot \frac{MT}{TF} \cdot \frac{FB}{BC} = 1\) \(\frac{4x}{2x} \cdot \frac{MT}{TF} \cdot \frac{y}{5y} = 1\) \(2 \cdot \frac{MT}{TF} \cdot \frac{1}{5} = 1\) \(\frac{MT}{TF} = \frac{5}{2}\) \(\frac{TF}{MT} = \frac{2}{5}\) \(\frac{S_{TFC}}{S_{CMB}} = \frac{S_{TFC}}{S_{AMC}} = \frac{TF}{AF} \cdot \frac{FC}{BC} = \frac{TF}{AF}\cdot\frac{FC}{BC} =\frac{2}{7}\cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{35}\) \(\frac{MT}{AT} = \frac{5}{7}\) \(\frac{TF}{AF} = \frac{2}{7}\). (S_{AFC} = \frac{4}{5} S_{ABC}\). (S_{TFC} = \frac{TF}{AF} S_{AFC} = \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{5} S_{ABC} = \frac{8}{35} S_{ABC}\). (S_{TFCM} = S_{TFC} + S_{CMF} = S_{TFC} + S_{AMC} - S_{ATF} = S_{TFC} + \frac{S_{ABC}}{2}\) Тогда (S_{TFCM} = S_{TFC} + S_{AMC} = \frac{8}{35}S_{ABC} + \frac{1}{2} S_{ABC} = (\frac{16 + 35}{70}) S_{ABC} = \frac{51}{70} S_{ABC}\). Искомое отношение: \(\frac{S_{TFCM}}{S_{ATB}} = \frac{\frac{51}{70} S_{ABC}}{\frac{1}{6} S_{ABC}} = \frac{51}{70} \cdot 6 = \frac{51 \cdot 3}{35} = \frac{153}{35}\). Ответ: **153:35**