18. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, \(\angle ACB = 75^\circ\). На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и \(\angle BAX = \angle YAX\). Найдите длину отрезка AY, если AX = 20.

$$\angle ACB = 75^\circ$$, следовательно, $$\angle BAC = 75^\circ$$ (так как AB = BC). Тогда $$\angle ABC = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ$$. $$\triangle ABX$$ - равнобедренный, так как AX = BX. Следовательно, $$\angle BAX = \angle ABX = 30^\circ$$. Тогда $$\angle AXB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$. $$\angle CAX = \angle BAC - \angle BAX = 75^\circ - 30^\circ = 45^\circ$$. $$\angle BAX = \angle YAX = 30^\circ$$, следовательно, $$\angle CAY = \angle CAX - \angle YAX = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$$. Рассмотрим $$\triangle AXY$$: $$\angle YAX = \angle AXY$$, $$\angle AXY = \frac{180^\circ- \angle AXB}{2} = 30^\circ $$ $$\angle AYX = 180 -30-30 = 120 $$. Значит, $$\triangle AXY$$ - равнобедренный, AY = XY. Рассмотрим $$\triangle AYC$$: $$\angle AYC= 180^\circ - \angle AYX = 60 $$. Значит, $$\angle YAC = 15^\circ $$, а $$\angle ACB = 75 ^\circ $$. И $$\angle AYC = 180-15-75=90$$ $$\triangle AYC$$ - прямоугольный. Итого, $$\triangle AXY$$ равнобедренный. $$\triangle ABX $$ тоже равнобедренный. AY = AX * cos(15) = 20*cos(15). cos(15) = cos(45-30) = cos45cos30+sin45sin30= $$\frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{1}{2}$$ = $$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$. AY = 20* $$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$=5*($$\sqrt{6}+\sqrt{2}$$) Ответ: $$5(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$