В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол C равен 45°, BC = 7√6. Найдите AC.

В треугольнике ABC:

• ∠A = 60°
• ∠C = 45°
• BC = 7√6

Найдем угол B: ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 45° = 75°

По теореме синусов:

\(\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\)

\(AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{7\sqrt{6} \cdot \sin 75°}{\sin 60°}\)

\(\sin 75° = \sin (45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

\(AC = \frac{7\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}\)

\(AC = \frac{7(2\sqrt{3} + 2)}{2} = 7(\sqrt{3} + 1)\)

Ответ: 7(\(\sqrt{3}\) + 1)