В треугольнике ABC угол А равен 45°, угол B равен 60°, BC = 4√6. Найдите AC.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон.

1. Найдем угол C: \( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ} \).
2. Применим теорему синусов: \( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \).
3. Подставим известные значения: \( \frac{AC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ}} \).
4. Выразим AC: \( AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \).
5. Рассчитаем значения синусов: \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
6. Подставим значения и упростим: \( AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \).
7. Дальнейшее упрощение: \( AC = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \).

Ответ: AC = 12.