В треугольнике ABC угол B равен 120°, внешний угол при вершине C равен 150°, сторона BC равна 22. Из вершины A проведена высота AH. Найдите длину отрезка BH.

Давай решим эту задачу вместе! 1. Найдем угол C треугольника ABC: Внешний угол при вершине C равен 150°, а внутренний угол и внешний угол в сумме составляют 180°. Значит, \[\angle C = 180° - 150° = 30°\] 2. Найдем угол A треугольника ABC: Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, \[\angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 120° - 30° = 30°\] 3. Определим тип треугольника ABC: Так как углы A и C равны (оба по 30°), треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. Значит, AB = BC = 22. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: В этом треугольнике угол B равен 120°, а угол AHB равен 90° (так как AH – высота). Следовательно, угол BAH равен: \[\angle BAH = 180° - \angle ABH - \angle AHB\] Но здесь есть загвоздка! Угол ABH не может быть равен углу B (120°) большого треугольника, потому что AH - высота, и она образует прямой угол с BC, а значит, треугольник ABH - прямоугольный. Угол ABH является смежным с углом ABC. Поэтому: \[\angle ABH = 180° - 120° = 60°\] Теперь можно найти угол BAH: \[\angle BAH = 90° - 60° = 30°\] 5. Найдем BH: В прямоугольном треугольнике ABH, где угол BAH равен 30°, катет BH, прилежащий к этому углу, можно найти, используя косинус угла: \[\cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB}\] Отсюда: \[BH = AB \cdot \cos(60°)\] Мы знаем, что \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\), и AB = 22, поэтому: \[BH = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11\] Ответ: BH = 11