В треугольнике ABC угол B равен 120°, внешний угол при вершине C равен 150°, сторона BC равна 16. Из вершины A проведена высота AH. Найдите длину отрезка BH.

Пусть дан треугольник ABC, в котором $\angle B = 120^\circ$, внешний угол при вершине C равен $150^\circ$, и $BC = 16$. AH - высота, опущенная из вершины A на сторону BC. Требуется найти длину отрезка BH. 1. Находим угол C: Внешний угол при вершине C равен $150^\circ$, поэтому внутренний угол C равен: $\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. 2. Находим угол A: Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол A равен: $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$. 3. Определяем тип треугольника: Так как $\angle A = \angle C = 30^\circ$, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. Следовательно, $AB = BC = 16$. 4. Рассматриваем прямоугольный треугольник ABH: В треугольнике ABH, $\angle AHB = 90^\circ$, $\angle B = 120^\circ$. Для нахождения BH, можно использовать косинус угла B. Однако, угол B тупой, и мы рассматриваем треугольник ABH, где AH - высота, следовательно, угол ABH является смежным с углом ABC. Обозначим этот угол как $\angle ABH'$. $\angle ABH' = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. 5. Находим BH: Используем косинус угла ABH' в прямоугольном треугольнике ABH: $\cos(\angle ABH') = \frac{BH}{AB}$ $\cos(60^\circ) = \frac{BH}{16}$ $\frac{1}{2} = \frac{BH}{16}$ $BH = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$. Ответ: $BH = 8$