В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=27, sin A = 4√2 / 27. Найдите длину стороны AC.

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) синус угла \(A\) определяется как отношение противолежащего катета (\(BC\)) к гипотенузе (\(AB\)): \(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
2. Нам нужно найти длину стороны \(AC\). Мы знаем, что \(AB = 27\) и \(\sin A = \frac{4\sqrt{2}}{27}\). Чтобы найти \(AC\), нужно использовать косинус угла \(A\), так как \(\cos A = \frac{AC}{AB}\).
3. Найдем косинус угла \(A\) через основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\). Тогда \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{4\sqrt{2}}{27}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 2}{27^2} = 1 - \frac{32}{729} = \frac{729 - 32}{729} = \frac{697}{729}\)
4. Значит, \(\cos A = \sqrt{\frac{697}{729}} = \frac{\sqrt{697}}{27}\).
5. Теперь найдем \(AC\): \(AC = AB \cdot \cos A = 27 \cdot \frac{\sqrt{697}}{27} = \sqrt{697}\).

Ответ: \(\sqrt{697}\)