В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, ctgA= √21/2 . Найдите AB.

$$\qquad$$Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Нам дано, что $$AC = 6$$ и $$\ctg A = \frac{\sqrt{21}}{2}$$. Нам нужно найти длину гипотенузы AB. $$\qquad$$В прямоугольном треугольнике котангенс угла A определяется как отношение прилежащего катета к противолежащему катету: $$\ctg A = \frac{AC}{BC}$$ $$\qquad$$Мы знаем, что $$\ctg A = \frac{\sqrt{21}}{2}$$ и $$AC = 6$$. Подставим эти значения в формулу: $$\frac{\sqrt{21}}{2} = \frac{6}{BC}$$ $$\qquad$$Теперь выразим BC: $$BC = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{21}} = \frac{12}{\sqrt{21}}$$ $$\qquad$$Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{21}$$: $$BC = \frac{12\sqrt{21}}{21} = \frac{4\sqrt{21}}{7}$$ $$\qquad$$Теперь, когда мы знаем длины катетов AC и BC, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы AB: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$\qquad$$Подставим известные значения: $$AB^2 = 6^2 + \left(\frac{4\sqrt{21}}{7}\right)^2 = 36 + \frac{16 \cdot 21}{49} = 36 + \frac{16 \cdot 3}{7} = 36 + \frac{48}{7}$$ $$\qquad$$Приведем к общему знаменателю: $$AB^2 = \frac{36 \cdot 7 + 48}{7} = \frac{252 + 48}{7} = \frac{300}{7}$$ $$\qquad$$Теперь найдем AB, взяв квадратный корень из обеих частей: $$AB = \sqrt{\frac{300}{7}} = \sqrt{\frac{100 \cdot 3}{7}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$$ $$\qquad$$Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{7}$$: $$AB = \frac{10\sqrt{3}\sqrt{7}}{7} = \frac{10\sqrt{21}}{7}$$ $$\qquad$$Таким образом, длина AB равна $$\frac{10\sqrt{21}}{7}$$. $$\qquad$$Ответ: $$\frac{10\sqrt{21}}{7}$$