В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 3, cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}. Найдите длину стороны BC.

Дано: прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°), AC = 3, $$cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}$$.

Найти: BC.

Решение:

Косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB: $$cos A = \frac{AC}{AB}$$.

Выразим AB: $$AB = \frac{AC}{cos A} = \frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}}$$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $$AB = \frac{15 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$$.

Теперь, когда мы знаем гипотенузу AB и катет AC, можно найти катет BC по теореме Пифагора: $$BC^2 = AB^2 - AC^2$$.

$$BC^2 = (3\sqrt{5})^2 - 3^2 = 9 \cdot 5 - 9 = 45 - 9 = 36$$.

$$BC = \sqrt{36} = 6$$.

Ответ: 6