9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 34, cos A = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Найдите BC.

Дано: треугольник ABC, \(\angle C = 90^\circ\), AC = 34, \(\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Найти: BC

Решение:

\(\cos A = \frac{AC}{AB}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{34}{AB}\)

\(AB = \frac{34 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{68}{\sqrt{2}} = \frac{68 \sqrt{2}}{2} = 34\sqrt{2}\)

По теореме Пифагора:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

\(BC^2 = AB^2 - AC^2\)

\(BC^2 = (34\sqrt{2})^2 - 34^2 = 34^2 \cdot 2 - 34^2 = 34^2 (2-1) = 34^2\)

\(BC = \sqrt{34^2} = 34\)

Ответ: 34

Объяснение:

1. Вспомнили определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.
2. Выразили гипотенузу AB через косинус угла A и сторону AC.
3. Вычислили длину гипотенузы AB.
4. Вспомнили теорему Пифагора.
5. Выразили катет BC через гипотенузу AB и катет AC.
6. Вычислили длину катета BC.