В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 8, $$tgA = \frac{65}{4\sqrt{65}}$$. Найдите AB.

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике и теорему Пифагора.

1. Определение тангенса:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае, для угла A:

$$tgA = \frac{BC}{AC}$$

2. Находим длину катета BC:

Нам известно, что $$AC = 8$$ и $$tgA = \frac{65}{4\sqrt{65}}$$. Подставим эти значения в формулу тангенса:

$$\frac{65}{4\sqrt{65}} = \frac{BC}{8}$$

Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на 8:

$$BC = 8 \cdot \frac{65}{4\sqrt{65}} = \frac{2 \cdot 65}{\sqrt{65}} = \frac{2 \cdot 65 \cdot \sqrt{65}}{65} = 2\sqrt{65}$$

Итак, $$BC = 2\sqrt{65}$$.

3. Используем теорему Пифагора:

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Подставим известные значения:

$$AB^2 = 8^2 + (2\sqrt{65})^2 = 64 + 4 \cdot 65 = 64 + 260 = 324$$

4. Находим длину гипотенузы AB:

Чтобы найти AB, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$AB = \sqrt{324} = 18$$

Ответ: 18