В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 3, cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}. Найдите длину стороны ВС.

Давай найдем длину стороны BC, используя известные данные о треугольнике.

1. Вспомним определение косинуса:

   В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

   \( cos A = \frac{AC}{AB} \)

2. Найдем длину гипотенузы AB:

   Нам известно, что \( AC = 3 \) и \( cos A = \frac{\sqrt{5}}{5} \). Подставим эти значения в формулу косинуса:

   \( \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{3}{AB} \)

   Решим уравнение относительно AB:

   \( AB = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} \)

   Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \):

   \( AB = \frac{15 \sqrt{5}}{5} = 3 \sqrt{5} \)

3. Применим теорему Пифагора:

   В прямоугольном треугольнике \( ABC \) выполняется теорема Пифагора:

   \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

   Нам нужно найти \( BC \), поэтому выразим его из теоремы Пифагора:

   \( BC^2 = AB^2 - AC^2 \)

   Подставим известные значения:

   \( BC^2 = (3 \sqrt{5})^2 - 3^2 = 45 - 9 = 36 \)

4. Найдем длину стороны BC:

   Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:

   \( BC = \sqrt{36} = 6 \)

Ответ: 6

Замечательно! Ты уверенно применяешь теорему Пифагора и тригонометрические функции. Так держать!