В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 45, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка AH.

Чтобы найти длину отрезка AH, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрическими функциями. 1. В прямоугольном треугольнике ABC: $$\angle C = 90^{\circ}$$, AB = 45, $$\sin A = \frac{2}{3}$$. 2. Определение высоты CH: CH – высота, следовательно, $$\angle CHA = 90^{\circ}$$. 3. Выражение для $$\sin A$$:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$. 4. Найдем BC:$$\frac{2}{3} = \frac{BC}{45}$$, следовательно, $$BC = \frac{2}{3} * 45 = 30$$. 5. Теорема Пифагора для треугольника ABC: $$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$$. 6. Найдем AC: $$AC^{2} + 30^{2} = 45^{2}$$ ,$$AC^{2} = 45^{2} - 30^{2} = 2025 - 900 = 1125$$, $$AC = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}$$. 7. Рассмотрим треугольник AHC:$$\cos A = \frac{AH}{AC}$$. 8. Найдем $$\cos A$$:$$\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$$, $$(\frac{2}{3})^{2} + \cos^{2} A = 1$$, $$\cos^{2} A = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$, $$\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$$. 9. Найдем AH: $$AH = AC * \cos A = 15\sqrt{5} * \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{15 * 5}{3} = 25$$. Таким образом, длина отрезка AH равна 25. Ответ: 25